Муодилаи
\[(x^2 - 5x)^2 - 30(x^2 - 5x) - 216 = 0 \qquad (1)\]
-ро ҳал менамоем. Агар қисми чапи ин муодиларо ба бисёраъзогии намудаш стандартӣ табдил диҳем:
\(\begin{multline}
(x^2 - 5x)^2 - 30(x^2 - 5x) - 216 = x^4 -10x^3 + 25x^2 - 30x^2 + 150x - 216 = \\
= x^4 - 10x^3 -5x^2 + 150x - 216,
\end{multline}\)
муодилаи
\[x^4 - 10x^3 -5x^2 + 150x - 216 = 0\]
ҳосил мешавад, ки тарзи ҳалли онро ёфтан мушкил аст.
Муодилаи (1)-ро бо ёрии ҷорӣ кардани тағйирёбандаи нав ҳал менамоем.
\(x^2 - 5x\)-ро бо \(y\) ишорат менамоем:
\[x^2 - 5x = y.\]
Он гоҳ муодилаи (1) ба муодилаи квадратии дорои тағйирёбандаи \(y\) оварда мешавад:
\[y^2 - 30y - 216 = 0. \qquad (2)\]
Муодилаи (2)-ро бо методи дискриминант ҳал мекунем.
Намуди умумии муодилаи квадратӣ:
\[ay^2+by+c=0.\]
Барои муодилаи (2): \(a=1, b=-30, c=-216\).
Дискриминантро меёбем:
\[D=b^2-4ac=(-30)^2-4 \cdot 1 \cdot (-216) = 900 + 864 = 1764 > 0.\]
Азбаски D>0, пас муодилаи додашуда ду решаи ҳақиқӣ дорад, ки аз рӯи формулаи зерин ҳисоб мешаванд:
\[y_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-30) \pm \sqrt{1764}}{2\cdot 1} = \frac{30 \pm 42}{2} = 15 \pm 21.\]
Яъне,
\(y_1=15-21=-6\).
\(y_2=15+21=36\).
Аз ин ҷо
\(x^2 - 5x = -6\)
ё
\(x^2 - 5x = 36\).
Муодилаи \(x^2 - 5x + 6 = 0\)-ро бо методи дискриминант ҳал мекунем.
Барои ин муодила: \(a=1, b=-5, c=6\).
Дискриминантро меёбем:
\[D=b^2-4ac=(-5)^2-4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1 > 0.\]
Азбаски D>0, пас муодилаи додашуда ду решаи ҳақиқӣ дорад, ки аз рӯи формулаи зерин ҳисоб мешаванд:
\[x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{1}}{2\cdot 1} = \frac{5 \pm 1}{2}.\]
Яъне,
\[x_{1} = \frac{5 - 1}{2} = 2.\]
\[x_{2} = \frac{5 + 1}{2} = 3.\]
Муодилаи \(x^2 - 5x - 36 = 0\)-ро бо методи дискриминант ҳал мекунем.
Барои ин муодила: \(a=1, b=-5, c=-36\).
Дискриминантро меёбем:
\[D = b^2-4ac = (-5)^2-4 \cdot 1 \cdot (-36) = 25 + 144 = 169 > 0.\]
Азбаски D>0, пас муодилаи додашуда ду решаи ҳақиқӣ дорад, ки аз рӯи формулаи зерин ҳисоб мешаванд:
\[x_{3,4}=\frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{13}}{2\cdot 1} = \frac{5 \pm 13}{2}.\]
Яъне,
\[x_{3} = \frac{5 - 13}{2} = -4.\]
\[x_{4} = \frac{5 + 13}{2} = 9.\]
Пас, муодилаи (1) чор реша дорад, яъне
\[x_1 = 2, \quad x_2 = 3, \quad x_3 = -4, \quad x_4 = 9.\]
Санҷиш.
\(\begin{multline}
1. \quad (2^2 - 5\cdot 2)^2 - 30\cdot (2^2 - 5\cdot 2) - 216 = (4-10)^2 - 30\cdot (4-10) - 216 = \\
= 36 + 180 - 216 = 0.
\end{multline}\)
\(\begin{multline}
2. \quad (3^2 - 5\cdot 3)^2 - 30\cdot (3^2 - 5\cdot 3) - 216 = (9-15)^2 - 30\cdot (9-15) - 216 = \\
= 36 + 180 - 216 = 0.
\end{multline}\)
\(\begin{multline}
3. \quad ((-4)^2 - 5\cdot (-4))^2 - 30\cdot((-4)^2 - 5\cdot (-4)) - 216 = \\
= (16+20)^2 - 30\cdot (16+20) - 216 = 1296 - 1080 - 216 = 0.
\end{multline}\)
\(\begin{multline}
4. \quad (9^2 - 5\cdot 9)^2 - 30\cdot (9^2 - 5\cdot 9) - 216 = \\
= (81-45)^2 - 30\cdot (81-45) - 216 = 1296 - 1080 - 216 = 0.
\end{multline}\)
